Esta página refuerza algunos de los conceptos importantes para el segundo parcial. A diferencia de Google Classroom, esta guía no es obligatoria (no se guardará que la hayas hecho o no), pero yo recomiendo fuertemente que todos la hagan las veces que sea necesario para que la respondan toda perfecta y que estén mejor preparados. Para empezar, intenten responder primero cada casilla en blanco sin ayuda y sin ver las respuestas (hay un botón abajo que escribe todas las respuestas correctas). Posteriormente pueden (si quieren) ver las respuestas, para que sea más fácil estudiar.
Si alguno de los ejercicios de Falso/Verdadero necesita un contraejemplo, aquí lo puedes encontrar. En caso de que varios de los contraejemplos de la lista puedan servir para un ejercicio, elige el de menor número.
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Si alguno de los ejercicios de Falso/Verdadero o de Demostraciones necesita un argumento, aquí lo puedes encontrar. En caso de que varios de los argumentos de la lista puedan servir para un ejercicio, elige el de menor número. Advertencia: algunos de los hechos de esta lista son falsos, y otros son demostraciones incompletas.
11. Por la definición de bloque de Jordan, todas las entradas de la diagonal coinciden.
12. Si la Forma Canónica de Jordan existe y es diagonal, por ser conjugada a la matriz original, se sigue que la matriz original es diagonalizable.
13. Si una matriz es diagonalizable, entonces es su polinomio minimal se factoriza totalmente como producto de factores lineales distintos, y la forma de Jordan existe. Además, cada bloque de Jordan es de tamaño 1, por lo que la forma de Jordan es diagonal.
14. Si la forma canónica racional es diagonal, todas las matrices compañeras de los factores invariantes deben ser diagonales, por lo que dichos factores invariantes son todos de grado 1.
15. Basta notar que los factores invariantes dividen al polinomio minimal, que es de grado 1.
16. Este es un teorema visto en clase (o mejor dicho, visto en las notas).
17. Se sigue de que el polinomio característico se factoriza totalmente como producto de factores lineales si y solamente si el polinomio minimal se factoriza totalmente como producto de factores lineales.
18. Como los factores invariantes (y sus matrices compañeras) siempre están definidos, la forma canónica racional también lo está.
19. Tomando un vector propio para cada valor propio distinto tendremos una base de vectores propios.
20. La única manera de tener más de un bloque de Jordan para un mismo valor propio es tener al menos dos factores invariantes con la misma raíz; si esto no ocurre, es que solamente hay un factor invariante, que es el polinomio minimal, y que coincide con el polinomio característico.
21. Es inmediato de las propiedades de los factores invariantes.
22. Se sigue de que el polinomio minimal divide a cualquier polinomio que anule a la matriz (y sus raíces son los valores propios).